Question

3．如圖，棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點M，N，E分別是棱A₁B₁，A₁D₁，C₁D₁的中點．
（1）過AM作一平面，使其與平面END平行（只寫作法，不需要證明）；
（2）在如圖的空間直角坐標系中，求直線AM與平面BMND所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連結AC、MC，平面AMC是所求平面；
（2）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，即可求直線AM與平面BMND所成角的正弦值．

解答 解：（1）連結AC、MC，平面AMC是所求平面--------------------------（3分）
（2）如圖空間直角坐標系O-xyz

則A（0，0，0），M（$\frac{1}{2}$a，0，a），B（a，0，0），D（0，a，0），N（0，$\frac{1}{2}$a，a）
------------------------（5分）（不全對，但對2個以上給1分）
$\overrightarrow{BM}$=（-$\frac{1}{2}$a，0，a），$\overrightarrow{BD}$=（-a，a，0），$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{1}{2}$a，0，a）
-------（7分）（不全對，但對2個給1分）
設平面BMND得法向量n=（x，y，z）
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{BM}•n=0\\ \overrightarrow{BD}•n=0\end{array}$⇒n=（2，2，1）-------------------------（9分）
cos＜$\overrightarrow{AM}$，n＞=$\frac{\overrightarrow{AM}•n}{|\overrightarrow{AM}||n|}$=$\frac{4\sqrt{5}}{15}$-----------------（11分）
設直線AM與平面BMND所成角為θ
則，sinθ=|cos＜$\overrightarrow{AM}$，n＞|=$\frac{4\sqrt{5}}{15}$
直線AM與平面BMND所成角的正弦值為$\frac{4\sqrt{5}}{15}$-----------------（12分）

點評 本題考查空間向量知識的運用，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．