Question

已知函數(shù)f(x)=

lnx

x

-x．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；
（3）試證明：對(duì)任意n∈N₊，不等式ln

1+n

n

＜

1+n

n2

恒成立．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定x=1是f′（x）=0的唯一解，進(jìn)而利用當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）利用函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，對(duì)m進(jìn)行分類(lèi)討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得f（x）在[m，2m]上的最大值；
（3）證明在（0，+∞）上恒有f(x)=

lnx

x

-x≤-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立，即可證得結(jié)論．

解答：（1）解：求導(dǎo)函數(shù)可得f′(x)=

1-lnx

x2

-1=-

x2+lnx-1

x2

令g（x）=x²+lnx-1，x∈（0，+∞），則g′（x）=2x+

1

x

＞0，∴函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增
∵x=1時(shí)，f′（x）=0，∴x=1是f′（x）=0的唯一解
∵當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0
∴函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減
（2）解：由（1）知，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減
①當(dāng)0＜2m≤1時(shí)，即0＜m≤

1

2

時(shí)，f（x）在[m，2m]上單調(diào)遞增
∴f（x）_max=f（2m）=

ln2m

2m

-2m
②當(dāng)m≥1時(shí)，f（x）在[m，2m]上單調(diào)遞減
∴f（x）_max=f（m）=

lnm

m

-m
③當(dāng)m＜1＜2m，即

1

2

＜m＜1時(shí)，f（x）_max=f（1）=-1
（3）證明：由（1）知，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）_max=f（1）=-1
∴在（0，+∞）上恒有f(x)=

lnx

x

-x≤-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，等號(hào)成立
∴對(duì)任意的x∈（0，+∞）恒有l(wèi)nx≤x（x-1）
∵

1+n

n

＞1，
∴ln

1+n

n

＜

1+n

n

(

1+n

n

-1)=

1+n

n2

∴對(duì)任意n∈N₊，不等式ln

1+n

n

＜

1+n

n2

恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．