Question

已知集合A={﹙x，y﹚|

m

2

≤﹙x-2﹚²+y²≤m²，x，y∈R}，B={﹙x，y﹚|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B=∅，則實數(shù)m的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：交集及其運算

專題：直線與圓,集合

分析：由已知集合A={﹙x，y﹚|

m

2

≤﹙x-2﹚²+y²≤m²，x，y∈R}，B={﹙x，y﹚|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B=∅，分A=∅和A≠∅兩種情況進行討論，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答： 解：當

m

2

＞m²，即m∈（0，

1

2

）時，集合A=∅，滿足A∩B=∅，
當m=0時，集合A={（2，0）}，B=[0，1]，滿足A∩B=∅，
當m＜0時，集合A表示圓﹙x-2﹚²+y²=m²內(nèi)部（包括邊界）上的所有的點，
由A∩B=∅，可得圓心（2，0）到直線x+y-2m=0和直線x+y-2m-1=0的距離均大于半徑-m，
即

|2-2m| 2 ＞-m |2-2m-1| 2 ＞-m

，解得m＜1-

2

2

，或m＞2+

2

，
∴m＜0
當m=

1

2

時，集合A表示圓﹙x-2﹚²+y²=

1

4

上的所有的點，此時A∩B≠∅，
當m＞

1

2

時，集合A表示圓環(huán)

m

2

≤﹙x-2﹚²+y²≤m²，內(nèi)部（包括邊界）上的所有的點，
由A∩B=∅，可得圓心（2，0）到直線x+y-2m=0和直線x+y-2m-1=0的距離均大于外圓半徑m，
即

|2-2m| 2 ＞m |2-2m-1| 2 ＞m

，解得m＜1-

2

2

，或m＞2+

2

，
∴m＞2+

2

，
綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為m＜

1

2

，或m＞2+

2

，
故答案為：m＜

1

2

，或m＞2+

2

點評：本題以集合的交集運算為載體，考查了直線與圓的位置關系，運算強度大，分類復雜，屬于難題．