Question

已知向量

a

=(2

3

sinx，cos2x)，

b

=(cosx，2)，函數(shù)f(x)=

a

•

b

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）將函數(shù)f（x）向左平移

π

12

個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的

1

2

倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．求g（x）在[0，

π

4

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)倍角公式、兩角和的正弦公式及其單調(diào)性、向量的數(shù)量積即可得出；
（2）利用三角函數(shù)的平移、伸縮變換先求出其解析式，再利用其單調(diào)性即可求出值域．

解答：解：（1）∵f(x)=

a

•

b

=2

3

sinxcosx+2cos2x=

3

sin2x+cos2x+1=2sin(2x+

π

6

)+1，
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

解得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，（k∈Z）
∴函數(shù)f（x）減區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z．
（2）∵將函數(shù)f（x）向左平移

π

12

得到y(tǒng)=2sin[2(x+

π

12

)+

π

6

]+1=2sin(2x+

π

3

)+1，
再將其橫坐標(biāo)縮短為原來的

1

2

，得到g（x）=2sin(4x+

π

3

)+1，
∵0≤x≤

π

4

，∴

π

3

≤4x+

π

3

≤

4π

3

，
∴-

3

2

≤sin(4x+

π

3

)≤1．
即-

3

+1≤g（x）≤3．
∴g（x）在[0，

π

4

]上的值域?yàn)閇-

3

+1，3]．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握三角函數(shù)倍角公式、兩角和的正弦公式、三角函數(shù)的圖象的平移、伸縮變換及其單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．