Question

已知函數(shù)，。

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；

（Ⅲ）試判斷方程（其中）是否有實(shí)數(shù)解？并說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）和（Ⅱ）（Ⅲ）沒有。理由見解析。

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。

（1）利用函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的正負(fù)號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系得到結(jié)論。

（2）在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上判定極值和端點(diǎn)值，進(jìn)而得到最值。

（3）要方程無(wú)實(shí)數(shù)解則可以利用函數(shù)沒有零點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的思想來(lái)判定解得。

解：（Ⅰ）因?yàn)?/p>

           1分

則有        2分

當(dāng)，或時(shí)，

，此時(shí)單調(diào)遞增

所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和          3分

（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012091821522254516613/SYS201209182153133309913299_DA.files/image010.png">，

所以

當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減            4分

于是，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增

此時(shí)，            5分

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

此時(shí)，。

綜上所述，            6分

（Ⅲ）方程沒有實(shí)數(shù)解

由，

得：            7分

設(shè)

則

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，

故函數(shù)在上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減             8分

所以，函數(shù)在上的最大值為

由（Ⅱ）可知，

在上的最小值為          9分

而，所以方程沒有實(shí)數(shù)解              10分