Question

f(x)=

3

cos2

1

2

x+sin

1

2

xcos

1

2

x．
（1）將f（x）化為Asin（ωx+?）+k(ω＞0，0＜φ＜

π

2

)的形式；
（2）寫出f（x）的最值及相應(yīng)的x值；
（3）若-

π

3

＜α＜

π

6

，且f(α)=

3

5

+

3

2

，求cos2α．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二倍角公式與兩角和的正弦公式可得答案．
（2）利用x+

π

3

=2kπ-

π

2

，k∈Z，進(jìn)而求出函數(shù)的最大值以及取最大值時x的數(shù)值．利用x+

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈Z，進(jìn)而求出函數(shù)的最小值以及取最小值時x的數(shù)值．
（3）由題意可得sin(α+

π

3

)=

3

5

，進(jìn)而結(jié)合題意得到cos(α+

π

3

)=

4

5

，即可得到sin(2α+

2π

3

)， cos(2α+

2π

3

)，
所以得到cos2α=cos[(2α+

2π

3

)-

2π

3

]的數(shù)值．

解答：解：（1）由題意可得：
f(x)=

3

cos2

1

2

x+sin

1

2

xcos

1

2

x
=

3

•

1+cosx

2

+

1

2

sinx
=sin(x+

π

3

)+

3

2

．
（2）當(dāng)x+

π

3

=2kπ-

π

2

，k∈Z，即x=2kπ-

5π

6

，k∈Z時，
則f（x）得到最小值-1+

3

2

．
當(dāng)x+

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈Z，即x=2kπ+

π

6

，k∈Z時，
則f（x）得到最大值1+

3

2

．
（3）由f(α)=sin(α+

π

3

)+

3

2

=

3

5

+

3

2

可得sin(α+

π

3

)=

3

5

，
∵-

π

3

＜α＜

π

6

，
∴0＜α+

π

3

＜

π

2

，
∴cos(α+

π

3

)=

4

5

，
∴sin(2α+

2π

3

)=2sin(α+

π

3

)•cos(α+

π

3

)=

24

25

cos(2α+

2π

3

)=2cos2(α+

π

3

)-1=

7

25

∴cos2α=cos[(2α+

2π

3

)-

2π

3

]
=cos(2α+

2π

3

)cos

2π

3

+sin(2α+

2π

3

)sin

2π

3

=

24 3 -7

50

．

點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握二倍角公式與兩角和的正弦公式，以及正弦函數(shù)的一個性質(zhì)．