Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n=

2 S 2 n

2Sn-1

（n≥2）．
（1）求證：數列{

1

Sn

}為等差數列；
（2）求{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數列遞推式,等差關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）直接利用遞推關系式證明數列是等差數列．
（2）利用（1）的結論利用前n項和法求出數列的通項公式，注意首項是否符合通項公式．

解答： （1）證明：a_n=

2 S 2 n

2Sn-1

（n≥2）
則：2Sn2=2anSn-an
2Sn2=2(Sn-Sn-1)Sn-(Sn-Sn-1)
整理得：S_n-1-S_n=2S_nS_n-1
所以：

1

Sn

-

1

Sn-1

=2
即：數列{

1

Sn

}為等差數列．
（2）解：由（1）得：

1

Sn

=

1

a1

+2(n-1)
則：Sn=

1

2n+1

當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

1

2n+1

-

1

2n-1

=-

2

(2n-1)(2n+1)

所以：an=

1(n=1) - 2 (2n-1)(2n+1) (n≥2)

點評：本題考查的知識要點：利用定義法證明數列是等差數列，利用前n項和法求數列的通項公式．本題屬于基礎題型．