Question

已知函數(shù)f（x）=5sinxcosx-5

3

cos²x+

5 3

2

，（x∈R），
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最大值、最小值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)，化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，即可求解周期．
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．
（3）通過x∈[0，

π

2

]，求出2x-

π

3

的范圍，然后求解函數(shù)的最值．

解答：解：（1）f（x）=5sinxcosx-5

3

cos²x+

5 3

2

=

5

2

sin2x-

5 3

2

（1+cos2x）+

5 3

2

=5sin（2x-

π

3

）…（4分）∴T=π．----（5分）
（2）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

⇒在[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]（k∈Z），所以函數(shù)在[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]（k∈Z）上單調(diào)增函數(shù)，----（7分）
在[kπ+

5π

12

，kπ+

11

12

π]（k∈Z）上單調(diào)減函數(shù)．----（9分）
（3）當x∈[0，

π

2

]時，2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
當x=0時f(x)min=-

5 3

2

；當x=

5π

12

時，f(x)max=5----（13分）

點評：本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的化簡求值，函數(shù)的周期，單調(diào)區(qū)間的求法，最值的應(yīng)用，考查計算能力．