Question

將兩個頂點在拋物線y²=2px（p＞0）上，另一個頂點（2p，0），這樣的正三角形有（ ）
A．0個
B．2個
C．4個
D．1個

Answer 1

【答案】分析：根據題意和拋物線以及正三角形的對稱性，可推斷出兩個邊的斜率，進而表示出這兩條直線，每條直線與拋物線均有兩個交點，焦點兩側的兩交點連接，分別構成一個等邊三角形，可知當等邊三角形關于x軸軸對稱時，有兩個．
解答：解：y²=2px（P＞0）
等邊三角形的一個頂點位于（2p，0），另外兩個頂點在拋物線上，
則當等邊三角形關于x軸軸對稱時
兩個邊的斜率k=±tan30°=±，其方程為：y=±（x-2p），
每條直線與拋物線均有兩個交點，焦點兩側的兩交點連接，分別構成一個等邊三角形，這樣的正三角形有2個，圖中黑色的兩個．
兩個頂點同時在拋物線上方如圖中藍色，或同時在下方各一個如圖中綠色，
故選C．
點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質和數形結合思想，主要是利用拋物線和正三角形的對稱性．