Question

（本小題滿分12分）

已知，其中是無理數(shù)，且， ．

（1）若時， 求的單調(diào)區(qū)間、極值；

（2）求證：在（1）的條件下，；

（3）是否存在實數(shù)，使的最小值是，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）當(dāng)_時， ， 

∴當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減 ，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增 

 的的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；單調(diào)遞增區(qū)間為（1，e）；的極小值為．

（2）_{由（1）知}在上的最小值為1， 

令 ，   ，

當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增 

∴  ∴在（1）的條件下，  

（3）假設(shè)存在實數(shù)，使（）有最小值，   

當(dāng)時，， 在上單調(diào)遞增，此時無最小值．

當(dāng)時，

若，故在上單調(diào)遞減，

若，故在上單調(diào)遞增．

，得，滿足條件．

當(dāng)時，

，在上單調(diào)遞減，

（舍去），所以，此時無最小值．

綜上，存在實數(shù)，使得當(dāng)時的最小值是．

（3）法二：假設(shè)存在實數(shù)，使的最小值是，

故原問題等價于：不等式對 恒成立，求“等號”取得時實數(shù)A的值．

即不等式對 恒成立，求“等號”取得時實數(shù)A的值．

設(shè)  _即  ，   

又   

令

當(dāng)，，則在單調(diào)遞增；

當(dāng)，，則在單調(diào)遞減 ，

故當(dāng)時，取得最大值，其值是

故 ．

綜上，存在實數(shù)，使得當(dāng)時的最小值是．