Question

已知f（x）=x²+2x+alnx
（1）當(dāng)a=-4，求f（x）的最小值；
（2）若f（x）在（0，1）不單調(diào)，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)t≥1時(shí)，f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把a(bǔ)=4代入函數(shù)解析式，求導(dǎo)后得到導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)的零點(diǎn)，由零點(diǎn)對(duì)定義域分段后判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而得到極小值點(diǎn)，求出極小值即最小值；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=2x+2+

a

x

=

2x2+2x+a

x

，引入輔助函數(shù)g（x）=2x²+2x+a，因?yàn)閤＞0，要使f（x）在（0，1）不單調(diào)，則需g（x）在（0，1）內(nèi)不同號(hào)，利用“三個(gè)二次”的結(jié)合得到關(guān)于a的不等式組，從而求出a的取值范圍；
（3）把不等式f（2t-1）≥2f（t）-3變形為2t²-alnt²≥2（2t-1）-aln（2t-1），構(gòu)造輔助函數(shù)h（x）=2x-alnx（x≥1），問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明該函數(shù)為增函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可證明．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞）
當(dāng)a=-4時(shí)，f（x）=x²+2x-4lnx，
f′(x)=2x+2-

4

x

=

2(x+2)(x-1)

x

．
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）0．
所以，f（x）在x=1時(shí)取得極小值，也就是最小值，等于f（1）=3；
（2）因?yàn)閒（x）=x²+2x+alnx（x＞0），
所以f′(x)=2x+2+

a

x

=

2x2+2x+a

x

．
設(shè)g（x）=2x²+2x+a，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上不單調(diào)，
∴

g(0)＜0 g(1)＞0

，即

a＜0 4+a＞0

，解得-4＜a＜0．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|-4＜a＜0}；
（3）不等式f（2t-1）≥2f（t）-3可化為
2t²-4t+2≥alnt²-aln（2t-1）
∴2t²-alnt²≥2（2t-1）-aln（2t-1）
令h（x）=2x-alnx（x≥1），則問(wèn)題可化為h（t²）≥h（2t-1）
∵t≥1，∴t²≥2t-1
要使上式成立，只需要h（x）=2x-alnx（x≥1）是增函數(shù)即可．
即h′(x)=2-

a

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≤2x在[1，+∞）上恒成立，
故a≤2．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的最值，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了函數(shù)構(gòu)造法，該題（3）巧妙地轉(zhuǎn)化構(gòu)造函數(shù)，使該題解題過(guò)程變得較為簡(jiǎn)潔，起到了事半功倍的效果，該題是難題．