Question

3．若實數(shù)x，y滿足|x|+|y|≤1，則|4x+y-2|+|3-x-2y|的最小值是$\frac{4}{3}$，取到此最小值時x=$\frac{1}{3}$，y=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 分情況討論目標(biāo)函數(shù)化簡，畫出約束條件所表示的可行域，結(jié)合圖形找出最優(yōu)解，可求出目標(biāo)函數(shù)的最小值．

解答 解：（1）當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{4x+y-2≥0}\\{3-x-2y≥0}\end{array}\right.$時，作出滿足約束條件的可行域如圖，
令z=|4x+y-2|+|3-x-2y|=3x-y+1，則y=3x+1-z，
∴y=3x+1-z過點C時，1-z取得最大值，z取得最小值．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{x+y=1}\\{4x+y-2=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}}\\{y=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$．
∴z=3x-y+1=$\frac{4}{3}$．
（2）當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{4x+y-2＜0}\\{3-x-2y≥0}\end{array}\right.$時，作出滿足約束條件的可行域如圖，
令z=|4x+y-2|+|3-x-2y|=-5x-3y+5，
則y=-$\frac{5}{3}$+$\frac{5-z}{3}$，
∴y=-$\frac{5}{3}$+$\frac{5-z}{3}$經(jīng)過點C時，$\frac{5-z}{3}$取得最大值，z取得最小值，
由（1）知，C（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$），∴z=-5x-3y+5=$\frac{4}{3}$．
（3）當(dāng)3-x-2y＜0時，不存在符合條件的可行域，
綜上，|4x+y-2|+|3-x-2y|的最小值是$\frac{4}{3}$．
故答案為：$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用，運用絕對值的意義分類討論和正確作出平面區(qū)域是關(guān)鍵．