Question

已知1＜m＜n，m，n∈N^*，求證：（1+m）ⁿ＞（1+n）^m．

Answer 1

分析：根據(jù)要證明的結(jié)論，利用分析法來證明本題，從結(jié)論入手，要證結(jié)論只要證明后面這個(gè)式子成立，兩邊取對(duì)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為只要證明函數(shù)在一個(gè)范圍上成立，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的性質(zhì)．

解答：證明：要證（1+m）ⁿ＞（1+n）^m
只要證nln（1+m）＞mln（1+n）
即

ln(1+m)

m

＞

ln(1+n)

n

．
構(gòu)造函數(shù)令f（x）=

ln(1+x)

x

，x∈[2，+∞），
只要證f（x）在[2，+∞]上單調(diào)遞減，
只要證f′（x）＜0．
∵f′（x）=

[ln(1+x)]′x-x′•ln(1+x)

x2

=

x-ln(1+x)(1+x)

x2(1+x)

．
當(dāng)x≥2時(shí)，x-ln（1+x）^（1+x）＜0，
x²（1+x）＞0，
∴f′（x）＜0，
即x∈[2，+∞]時(shí)，f′（x）＜0．
以上各步都可逆推，得（1+m）ⁿ＞（1+n）^m．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查化歸思想，考查構(gòu)造函數(shù)，是一個(gè)綜合題，題目難度中等，在證明不等式時(shí)，注意采用什么形式，選擇一種合適的寫法．