Question

設(shè)函數(shù)．

（1）當(dāng)（為自然對數(shù)的底數(shù)）時，求的最小值；

（2）討論函數(shù)零點的個數(shù)；

（3）若對任意恒成立，求的取值范圍．

 

Answer 1

（1）2；（2）見解析；（3）.

【解析】

試題分析：(1)利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并利用單調(diào)性求函數(shù)最值；（2）利用分離參數(shù)法，將函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題，令利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)值域，進而求出的取值范圍；

（3）由條件中的任意性，可知,利用導(dǎo)函數(shù)可得, 分離參數(shù)既有.

試題解析：（1）【解析】

當(dāng)時，令，解得；令,解得。

所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增。

即 . 4分

【解析】
由，可得，要使有零點，則令,則。

令，則。

若,則；若，則.

即函數(shù)在單調(diào)遞增，值域為,在單調(diào)遞減，值域為。

大致畫出函數(shù)的圖象：

由圖可知，當(dāng)或時，只有一個零點；當(dāng)時，有2個零點；

當(dāng)時，沒有零點。 10分

由（1）可知.

當(dāng)對于任意恒成立，即，

所以有,即.

故 15分

考點：（1）導(dǎo)數(shù)與最值；（2）含參量函數(shù)零點討論（一般分離參數(shù)法）；（3）含參問題求解