Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+1，x≤0\\{log_2}x，x＞0\end{array}$，則函數(shù)y=f（f（x））+1的所有零點構(gòu)成的集合為$\left\{{-3，-\frac{1}{2}，\frac{1}{4}，\sqrt{2}}\right\}$．

Answer 1

分析 利用分段函數(shù)，分類討論，即可求出函數(shù)y=f（f（x））+1的所有零點構(gòu)成的集合．

解答 解：x≤0時，x+1=-1，x=-2，由f（x）=-2，可得x+1=-2或log₂x=-2，∴x=-3或x=$\frac{1}{4}$；
x＞0時，log₂x=-1，x=$\frac{1}{2}$，由f（x）=$\frac{1}{2}$，可得x+1=$\frac{1}{2}$或log₂x=$\frac{1}{2}$，∴x=-$\frac{1}{2}$或x=$\sqrt{2}$；
∴函數(shù)y=f（f（x））+1的所有零點構(gòu)成的集合為$\left\{{-3，-\frac{1}{2}，\frac{1}{4}，\sqrt{2}}\right\}$，
故答案為$\left\{{-3，-\frac{1}{2}，\frac{1}{4}，\sqrt{2}}\right\}$．

點評 本題考查函數(shù)y=f（f（x））+1的所有零點構(gòu)成的集合，考查分段函數(shù)，正確分類討論是關(guān)鍵．