Question

9．已知集合A=[-3，3]，B=[-2，2]，設(shè)M={（x，y）|x∈A，y∈B}，在集合M內(nèi)隨機(jī)取出一個(gè)元素（x，y）．
（1）求以（x，y）為坐標(biāo)的點(diǎn)落在圓x²+y²=4內(nèi)的概率；
（2）求以（x，y）為坐標(biāo)的點(diǎn)到直線x+y=0的距離不大于$\sqrt{2}$的概率．
（提示：可以考慮采用數(shù)形結(jié)合法）

Answer 1

分析 （1）集合M表示的區(qū)域的面積為6×4=24，此圓x²+y²=4的面積表示滿(mǎn)足條件的基本事件，所求為面積比；
（2）求出滿(mǎn)足以（x，y）為坐標(biāo)的點(diǎn)到直線x+y=0的距離不大于$\sqrt{2}$面積，則求面積比即可．

解答 解：（1）A=[-3，3]，B=[-2，2]，設(shè)M={（x，y）|x∈A，y∈B}，表示的區(qū)域的面積為6×4=24．
圓x²+y²=4的面積為4π，
∴以（x，y）為坐標(biāo)的點(diǎn)落在圓x²+y²=4內(nèi)的概率為P₁=$\frac{4π}{24}$=$\frac{π}{6}$，
（2）由題意，到直線x+y=0的距離不大于$\sqrt{2}$的點(diǎn)為夾在兩條平行直線x+y-2=0與x+y+2=0之間的范圍內(nèi)，如圖所示，
故所求事件的概率為${P_2}=\frac{{6×4-2×\frac{1}{2}×3×3}}{6×4}=\frac{5}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了幾何概型的概率求法，關(guān)鍵是將所求的概率利用基本事件的集合度量即區(qū)域的長(zhǎng)度或者面積或者體積表示，求比值．