已知橢圓C:的四個頂點恰好是一邊長為2，一內(nèi)角為的菱形的四個頂點.
(I)求橢圓C的方程；
(II)若直線y =kx交橢圓C于A，B兩點，在直線l:x+y-3=0上存在點P,使得 ΔPAB為等邊三角形,求k的值.

(I)； (II)  或．

解析試題分析：(I)由圖形的對稱性及橢圓的幾何性質，易得，進而寫出方程； (II) 先找到AB中垂線與l的交點，保證ΔPAB為等腰三角形，再滿足即可保證ΔPAB為等邊三角形，此外，注意對于特殊情形的討論．
試題解析：
(I)因為橢圓的四個頂點恰好是一邊長為2，
一內(nèi)角為的菱形的四個頂點,
所以,橢圓的方程為．               4分
(II)設則
當直線的斜率為時，的垂直平分線就是軸，
軸與直線的交點為,
又因為，所以，
所以是等邊三角形,所以滿足條件；           6分
當直線的斜率存在且不為時，設的方程為
所以，化簡得
所以 ，則      8分
設的垂直平分線為，它與直線的交點記為
所以，解得,
則                                        10分
因為為等邊三角形， 所以應有
代入得到，解得（舍），     13分
綜上可知， 或                               14分 
考點：直線與圓錐曲線的位置關系．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的長軸兩端點分別為，是橢圓上的動點，以為一邊在軸下方作矩形，使，交于點，交于點．

（Ⅰ）如圖（1），若，且為橢圓上頂點時，的面積為12，點到直線的距離為，求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖（2），若，試證明：成等比數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），在極坐標系（與直角坐標系取相同的長度單位，且以原點為極點，以軸正半軸為極軸）中,直線的極坐標方程為：．
（Ⅰ）寫出曲線和直線在直角坐標系下的方程；
（II）設點是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

給定橢圓： ，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“準圓”．若橢圓的一個焦點為，且其短軸上的一個端點到的距離為.
(Ⅰ)求橢圓的方程和其“準圓”方程；
(Ⅱ)點是橢圓的“準圓”上的一個動點，過動點作直線，使得與橢圓都只有一個交點，試判斷是否垂直，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的離心率為，左焦點為. 
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線與曲線交于不同的、兩點，且線段的中點在圓 上，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓，拋物線的焦點均在軸上，的中心和的頂點均為原點，每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄于表中：











（1）求，的標準方程；
（2）設斜率不為0的動直線與有且只有一個公共點，且與的準線交于，試探究：在坐標平面內(nèi)是否存在定點，使得以為直徑的圓恒過點？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知、是橢圓的左、右焦點，且離心率，點為橢圓上的一個動點，的內(nèi)切圓面積的最大值為.
(1) 求橢圓的方程；
(2) 若是橢圓上不重合的四個點，滿足向量與共線，與共
線，且，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

若雙曲線與橢圓有相同的焦點，與雙曲線有相同漸近線，求雙曲線方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線的距離為．設為直線上的點，過點作拋物線的兩條切線，其中為切點．
(1) 求拋物線的方程；
(2) 當點為直線上的定點時，求直線的方程；
(3) 當點在直線上移動時，求的最小值．

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