Question

已知：函數(shù)f(x)=

x2+(t-1)x-t

(t+1)x

-lnx(t＞-1，x≥1)．
（1）若f（x）≥0恒成立，求參數(shù)t的取值范圍；
（2）證明：

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln(n+1)-

n+2

2(n+1)

(n≥1)．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，①當(dāng)t＞1時(shí)，由f′（x）＜0，可得f（x）在（1，t）上遞減，f（x）≥0不恒成立；②當(dāng)-1＜t≤1時(shí)，f（x）在[1，+∞）上遞增，f（x）≥0恒成立，由此可求參數(shù)t的取值范圍；
（2）由（1）知，t=1時(shí)有f（x）≥0，即

1

2

(x-

1

x

)≥lnx(x≥1)，故當(dāng)x＞1時(shí)，

1

2

(x-

1

x

)＞lnx(x≥1)，令x=1+

1

k

，可得ln(k+1)-lnk＜

1

2

[(1+

1

k

)-

k

k+1

]=

1

2

(

1

k

+

1

k+1

)（k=1，2…，n），將上述式子相加，即可證得結(jié)論．

解答：（1）解：求導(dǎo)函數(shù)，可得f′(x)=

(x-1)(x-t)

(t+1)x2

①當(dāng)t＞1時(shí)，由f′（x）＜0，可得1＜x＜t，∴f（x）在（1，t）上遞減，∴f（x）≤f（1）=0
∴f（x）≥0不恒成立；
②當(dāng)-1＜t≤1時(shí)，由f′（x）≥0，可得x≥1，∴f（x）在[1，+∞）上遞增，∴f（x）≥f（1）=0
∴f（x）≥0恒成立；
綜上所述，參數(shù)t的取值范圍為（-1，1]；
（2）證明：由（1）知，t=1時(shí)有f（x）≥0，即

1

2

(x-

1

x

)≥lnx(x≥1)
∴當(dāng)x＞1時(shí)，

1

2

(x-

1

x

)＞lnx(x≥1)
令x=1+

1

k

，∴ln(k+1)-lnk＜

1

2

[(1+

1

k

)-

k

k+1

]=

1

2

(

1

k

+

1

k+1

)（k=1，2…，n）
將上述式子相加：ln(n+1)＜

1

2

[1+

1

n+1

+2(

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)]
=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

-

n

2(n+1)

∴1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln(n+1)+

n

2(n+1)

∴

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln(n+1)-

n+2

2(n+1)

(n≥1)

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，正確放縮是解題的關(guān)鍵．