Question

已知雙曲線x²-2y²=2的左、右兩焦點為F₁，F(xiàn)₂，動點P滿足|PF₁|+|PF₂|=4，
（Ⅰ）求動點P的軌跡W的方程；
（Ⅱ）若線段AB是曲線W的長為2的動弦，O為坐標原點，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知得|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|=2

3

，從而P點的軌跡W是以F₁、F₂為焦點，長軸為4的橢圓，由此能求出動點P的軌跡W的方程．
（Ⅱ）設直線AB的方程為y=kx+b，由

y=kx+b x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由已知條件利用弦長公式得k²=

3+4b2

12-4b2

，點O到直線AB的距離h=

|b|

k2+1

，△AOB面積S=

1

2

|AB|•h=h，由此能求出△AOB面積S取最大值．

解答： 解：（Ⅰ）雙曲線x²-2y²=2可化為

x2

2

-y²=1，
則|F₁F₂|=2

3

  
∵|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|=2

3

，
∴P點的軌跡W是以F₁、F₂為焦點，長軸為4的橢圓，
由a=2，c=

3

，得b=1
∴動點P的軌跡W的方程為

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）∵線段AB的長等于橢圓短軸的長，
要使三點A、O、B能構(gòu)成三角形，則弦AB不能與x軸垂直，
故可設直線AB的方程為y=kx+b，
由

y=kx+b x2 4 +y2=1

，消去y，并整理，得（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-

8kb

1+4k2

，x₁x₂=

4(b2-1)

1+4k2

（8分）
∵|AB|=2，∴

(1+k2)(x2-x1)2

=2．
∴（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=4，
∴（1+k²）[（-

8kb

1+4k2

）²-4•

4(b2-1)

1+4k2

]=4，
∴k²=

3+4b2

12-4b2

，
又點O到直線AB的距離h=

|b|

k2+1

，
∴△AOB面積S=

1

2

|AB|•h=h，
∴S²=h²=

b2

3+4b2 12-4b2 +1

=

12b2-4b4

15

=-

4

15

（b²-

3

2

）²+

3

5

，
∴當b²=

3

2

時，△AOB面積S取最大值

15

5

．

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時要注意韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式的合理運用．