Question

（2013•哈爾濱一模）已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的一段圖象如下所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調(diào)減區(qū)間，并指出f（x）的最大值及取到最大值時(shí)x的集合．

Answer 1

分析：（1）由圖象直接得到振幅A，和四分之三周期，所以周期可求，則ω可求，然后根據(jù)五點(diǎn)作圖的第一點(diǎn)求得Φ，則函數(shù)解析式可求；
（2）直接由三角函數(shù)符號后面的相位在正弦函數(shù)的減區(qū)間內(nèi)求得函數(shù)的減區(qū)間，由終邊在y軸正半軸上的角的正弦值最大求出使函數(shù)取得最大值時(shí)的角x的集合．

解答：解：（1）由圖象可以得到函數(shù)f（x）的振幅A=3，
設(shè)函數(shù)周期為T，則

3

4

T=4π-

π

4

=

15π

4

，
所以T=5π，則ω=

2π

T

=

2π

5π

=

2

5

，
由ωx₀+Φ=0，得

2

5

×

π

4

+Φ=0，所以Φ=-

π

10

，
所以f（x）=3sin(

2

5

x-

π

10

)．
（2）由

π

2

+2kπ≤

2

5

x-

π

10

≤

3

2

π+2kπ  (k∈Z)，
得

3

2

π+5kπ≤x≤4π+5kπ   (k∈Z)，
所以函數(shù)的減區(qū)間為（

3

2

π+5kπ，4π+5kπ）k∈Z．
函數(shù)f（x）的最大值為3，當(dāng)且僅當(dāng)

2

5

x-

π

10

=

π

2

+2kπ  (k∈Z)，
即x=

3

2

π+5kπ  (k∈Z)時(shí)函數(shù)取得最大值．
所以函數(shù)的最大值為3，取得最大值時(shí)的x的集合為{x|x=

3

2

π+5kπ   k∈Z}．

點(diǎn)評：本題考查了根據(jù)函數(shù)的部分圖象求函數(shù)解析式問題，考查了復(fù)合函數(shù)的增減性，解答此題的關(guān)鍵是求初相，運(yùn)用的是五點(diǎn)作圖的第一點(diǎn)，具體辦法是看圖象在y軸右側(cè)與x軸的第一個(gè)交點(diǎn)是上升趨勢還是下降趨勢，若是上升趨勢有ωx₀+Φ=0，若是下降趨勢則有ωx₀+Φ=π．