Question

17．已知函數f（x）=（x²+ax-2a-3）•e^3-x（a∈R）；
（1）討論f（x）的單調性；
（2）設g（x）=（a²+$\frac{25}{4}$）e^x（a＞0），若存在（a＞0），x₁，x₂∈[0，4]使得|f（x₁）-g（x₂）|＜1成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先根據導數乘法的運算法則求出函數的導函數，然后討論f'（x）=0時兩根大小，然后分別解不等式f'（x）＜0與f'（x）＞0，從而求出函數的單調區(qū)間；
（2）由（1）知，當a＞0時，f（x）在區(qū)間[0，4]上的單調性，從而求出函數f（x）在區(qū)間[0，4]上的值域，根據g（x）在[0，4]上單調遞增，可求出g（x）在[0，4]的值域；
若存在（a＞0），x₁，x₂∈[0，4]使得|f（x₁）-g（x₂）|＜1成立，只需要g_min（x）-f_max（x）＜1，解不等式即可．

解答 ．解：（1）f'（x）=-[x²+（a-2）x-3a-3]e^3-x=-（x-3）（x+a+1）e^3-x
由-a-1=3得a=-4，
當a=-4時，f′（x）=-（x-3）²e^3-x≤0，此時函數在（-∞，+∞）上為減函數，
當a＜-4時，-a-1＞3，由f'（x）＜0⇒x＜3或x＞-a-1，f'（x）＞0⇒3＜x＜-a-1．
∴f（x）單調減區(qū)間為（-∞，3），（-a-1，+∞），單調增區(qū)間為（3，-a-1）．
當a＞-4時，-a-1＜3，
f'（x）＜0⇒x＞3或x＜-a-1，f'（x）＞0⇒-a-1＜x＜3．
∴f（x）單調減區(qū)間為（-∞，-a-1），（3，+∞），單調增區(qū)間為（-a-1，3）．
（2）由（1）知，當a＞0時，-a-1＜0，f（x）在區(qū)間[0，3]上的單調遞增，
在區(qū)間[3，4）]單調遞減，而f（0）=-（2a+3）e³＜0，f（4）=（2a+13）e^-1＞0，f（3）=a+6．
那么f（x）在區(qū)間[0，4]上的值域是F=[-（2a+3）e³，a+6]
又g（x）=（a²+$\frac{25}{4}$）e^x（a＞0），在[0，4]上是增函數，對應的值域為G=[a²+$\frac{25}{4}$，（a²+$\frac{25}{4}$）e⁴]，
∵a＞0，∴-（2a+3）e³＜a+6≤a²+$\frac{25}{4}$＜（a²+$\frac{25}{4}$）e⁴，
|f（x₁）-g（x₂）|＜1等價為g（x₂）-f（x₁）＜1
若存在（a＞0），x₁，x₂∈[0，4]使得|f（x₁）-g（x₂）|＜1成立，
只需要g_min（x）-f_max（x）＜1，
∴a²+$\frac{25}{4}$-a-6＜1，得4a²-4a-3＜0，得-$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{3}{2}$
∵a＞0，
∴0＜a＜$\frac{3}{2}$
∴a的取值范圍為（0，$\frac{3}{2}$）．

點評 本題主要考查了利用導數求閉區(qū)間上函數的最值，以及利用導數研究函數的單調性，同時考查了分類討論的數學思想，綜合性較強，難度較大．