Question

已知實數(shù)x＞0，y＞0，且x+2y=2
（Ⅰ）求

1

x

+

2

y

的最小值．              
（Ⅱ）求x²+4y²+3xy的取值范圍．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由題意可得

1

x

+

2

y

=

1

2

（

1

x

+

2

y

）（x+2y）=

1

2

（5+

2y

x

+

2x

y

），由基本不等式可得；            
（Ⅱ）由x+2y=2可得x=2-2y且0＜y＜1，代入要求的式子由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．

解答： 解：（Ⅰ）∵實數(shù)x＞0，y＞0，且x+2y=2，
∴

1

x

+

2

y

=

1

2

（

1

x

+

2

y

）（x+2y）=

1

2

（5+

2y

x

+

2x

y

）
≥

1

2

（5+2

2y x • 2x y

）=

9

2

當且僅當

2y

x

=

2x

y

即x=y=

2

3

時取等號，
∴

1

x

+

2

y

的最小值為

9

2

．              
（Ⅱ）由x+2y=2可得x=2-2y，
由x=2-2y＞0可得y＜1，∴0＜y＜1，
∴x²+4y²+3xy=2y²-8y+4=2（y-2）²+4，
由二次函數(shù)可知當y=0時，上式取最大值4，當y=1時，上式取最小值-2
∴x²+4y²+3xy的取值范圍為（-2，4）

點評：本題考查基本不等式求最值，涉及二次函數(shù)區(qū)間的最值，屬中檔題．