Question

已知等比數列a_n中，公比q∈(0，1)，a2+a4=

5

4

，a1a5=

1

4

，設bn=

1

2

nan，(n∈N*)．
（I）求數列a_n的通項公式；
（II）求數列b_n的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（I）利用等比數列的性質得到a2•a4=a1a5=

1

4

，列出關于a₂，a₄的方程組，求出a₂，a₄；求出首項與公比，利用等比數列的通項公式求出通項
（II）數列的通項是一個等比數列與一個等差數列的積構成的新數列，利用錯位相減法求出數列的前n項和．

解答：解：（I）由題意知a2•a4=a1a5=

1

4

解方程組：

a2+a4= 5 4 a2•a4= 1 4

∵q∈（0，1）
∴a₂＞a₄
∴a2=1，a4=

1

4

∴q=

1

2

，a1=2
∴an=2×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-2
所以數列a_n的通項公式為an=(

1

2

)n-2
（II）因為bn=

1

2

nan，(n∈N*)，an=(

1

2

)n-2
∴Sn=1×(

1

2

)0+2×

1

2

+3×(

1

2

)2+…+(n-1)(

1

2

)n-2+n(

1

2

)n-1

1

2

Sn=1×

1

2

+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+  (n-1)(

1

2

)n-1+n(

1

2

)n
兩式相減得

1

2

Sn=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-n(

1

2

)n
解得Sn=4-(

1

2

)n-2-n(

1

2

)n-1
數列b_n的前n項和Sn=4-(

1

2

)n-2-n(

1

2

)n-1

點評：求數列的前n項和時，關鍵是判斷出通項的特點，據通項的特點選擇合適的求和方法．