Question

如圖所示，流程圖給出了無窮整數數列{a_n}滿足的條件，a₁∈N₊，且當k=5時，輸出的S=；當k=10時，輸出的S=．
（1）試求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）是否存在最小的正數M使得T_n≤M對一切正整數n都成立，若存在，求出M的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題設知
又∵{a_n}是等差數列，設公差為d，
∴即
兩式相減得：a₁（a₁₁-a₆）=-90，即a₁d=-18
又∵a₁d=a₁（a₁+5d）=a₁²-90，∴a₁²=81，
∴a₁=9，a₁=-9舍，∴d=-2，∴a_n=11-2n
（2）．①
①式兩邊同乘得．②
②-①得．
∴=
∴
又∵．
當n≥5時，∵T_n+1-T_n＜0；當n≤4時，
∵T_n+1-T_n＞0∴當n=5時，T_n有最大值．
∵T_n≤M恒成立，∴，
∴M的最小值為．
分析：（1）由題意可得，從而可得兩式相減得：a₁（a₁₁-a₆）=-90，即a₁d=-18又∵a₁d=a₆所以可求數列通項；
（2）由題意可得，進一步有當n≥5時，T_n+1-T_n＜0；當n≤4時，T_n+1-T_n＞0，從而當n=5時，T_n有最大值，進而將問題轉化為利用最值解決恒成立問題．
點評：本題考查數列、算法與函數的綜合問題，本題解題的關鍵利用錯位相減法求數列的和，再用函數的思想來解題，本題是一個綜合題目，難度可以作為高考卷的壓軸題．