Question

已知函數(shù)f（x）=mx+

1

x

，且f（1）=2．
（1）求m；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)還是減函數(shù)？并證明．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（1）=2，代入解出即可；（2）根據(jù)定義進(jìn)行判斷即可；（3）x₁、x₂是（1，+∞）上的任意兩個實數(shù)，且x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）＜0，從而得出答案．

解答： 解：（1）∵f（1）=2，∴m+1=2，解得：m=1；
（2）f（x）=x+

1

x

，f（-x）=-x-

1

x

=-f（x），∴f（x）是奇函數(shù)；
（3）設(shè)x₁、x₂是（1，+∞）上的任意兩個實數(shù)，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）
=x₁+

1

x1

-（x₂+

1

x2

）
=x₁-x₂+（

1

x1

-

1

x2

）
=x₁-x₂-

x1-x2

x1x2

=（x₁-x₂）

x1x2-1

x1x2

，
當(dāng)1＜x₁＜x₂時，x₁x₂＞1，x₁x₂-1＞0，
從而f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）=

1

x

+x在（1，+∞）上為增函數(shù)．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查了函數(shù)的奇偶性問題，是一道中檔題．