Question

已知函數(shù)f（x）=

2x+3

3x

，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（

1

an

）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令b_n=

1

anan+1

，S_n=b₁+b₂+…b_n，若S_n＜

m-2015

2

對(duì)一切n∈N^*成立，求最小正整數(shù)m．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）由f（x）=

2x+3

3x

，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（

1

an

）（n∈N^*）．可得a_n+1=a_n+

2

3

，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（II）b_n=

9

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，利用“裂項(xiàng)求和”可得S_n，再利用向數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（I）∵f（x）=

2x+3

3x

，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（

1

an

）（n∈N^*）．
∴an+1=

2× 1 an +3

3× 1 an

=

2+3an

3

=a_n+

2

3

，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為

2

3

．
∴an=1+

2

3

(n-1)=

2n+1

3

．
（II）b_n=

1

anan+1

=

9

(2n+1)(2n+3)

=

9

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，
∴S_n=b₁+b₂+…b_n=

9

2

[(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n+1

-

1

2n+3

)]
=

9

2

(

1

3

-

1

2n+3

)
=

3n

2n+3

．
S_n＜

m-2015

2

即

3n

2n+3

＜

m-2015

2

，化為m＞2018-

9

2n+3

．
∵S_n＜

m-2015

2

對(duì)一切n∈N^*成立，
∴m＞(2018-

9

2n+3

)max，
∵f（n）=-

9

2n+3

關(guān)于n的單調(diào)遞增函數(shù)，
當(dāng)n→+∞時(shí)，f（n）→0，
∴m≥2018．
∴最小正整數(shù)m為2018．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．