Question

如圖1，直角梯形中，，分別為邊和上的點，且，．將四邊形沿折起成如圖2的位置，使．

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成銳角的余弦值.

 

 

Answer 1

（1）見解析；（2）。

【解析】

試題分析：（1）取DE中點G，連接FG,AG，平面，只需證平面AFG∥平面CBD，又平面，平面，故只需證∥平面CBD，∥平面CBD即可；

（2）要求平面與平面所成銳角的余弦值，需找兩平面的法向量，取中點為H，連接DH，可證， 故以中點H為原點，為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，易知是平面的一個法向量，由可得平面的一個法向量為，然后由空間兩向量夾角公式去求平面與平面所成銳角的余弦值。

試題解析：（1）證明：取DE中點G，連接FG,AG，CG.因為 CFDG,所以FG∥CD.因為 CGAB, ,

所以AG∥BC.所以平面AFG∥平面CBD， 所以 AF∥平面CBD.

（2）解: 取中點為H，連接DH.,，

.，.

以中點H為原點，為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，所以的中點坐標為因為，所以 易知是平面的一個法向量，設平面的一個法向量為

由

令則，，

,

所以面與面所成角的余弦值為.

考點：（1）空間線面平行、面面平行、線面垂直判定定理的應用；（2）空間兩平面夾角的定義、平面法向量的定義的應用；（3）空間向量的基本運算。