Question

f（x）=|x³+a|（a∈R）在[-1，1]的最大值為M（a），若g（x）=M（x）-|x²+t|有4個零點，求t的范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)的零點與方程根的關系

專題：綜合題,函數(shù)的性質及應用

分析：根據(jù)條件求出函數(shù)M（a）的表達式，然后由g（x）=0得M（x）=|x²+t|，利用函數(shù)g（x）=M（x）-|x²+t|有4個零點，建立條件關系即可求出t的取值范圍．

解答： 解：當a=0時，f（x）=|x³+a|=|x³|為偶函數(shù)，此時最大值為M（a）=M（-1）=M（1），
當a＞0時，函數(shù)在[-1，1]上的最大值為M（a）=f（1）=|1+a|=a+1，
當a＜0時，函數(shù)在[-1，1]上的最大值為M（a）=f（-1）=|-1+a|=1-a，
即M（a）=

a+1，a≥0 1-a，a＜0

．
∴M（x）=

x+1，x≥0 1-x，x＜0

．
由g（x）=M（x）-|x²+t|=0得M（x）=|x²+t|，
設函數(shù)M（x），m（x）=|x²+t|，
作出兩個函數(shù)的圖象如圖：
①若t≤0，要使g（x）=M（x）-|x²+t|有4個零點，
則兩個圖象的交點個數(shù)有4個，此時滿足m（0）＞M（0），
即|t|＞1，解得t＜-1．
②若t＞0，則m（x）=|x²+t|=x²+t，
當拋物線過點（0，1）時，t=1．
當拋物線與直線相切時，當x＞0時，
由

y=x+1 y=x2+t

，此時x²-x+（t-1）=0，
由判別式△=1-4（t-1）=5-4t=0，
解得t=

5

4

．
要使g（x）=M（x）-|x²+t|有4個零點，
則兩個圖象的交點個數(shù)有4個，此時滿足1＜t＜

5

4

．
綜上t＜-1或1＜t＜

5

4

．

點評：本題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的應用，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵，根據(jù)條件求出M（a）的表達式是本題的難點．注意對t要進行分類討論．綜合性較強，難點大．