Question

（本小題滿分14分）（注意：仙中、一中、八中的學(xué)生三問(wèn)全做，其他學(xué)校的學(xué)生只做前兩問(wèn)）

已知函數(shù)

（Ⅰ）若，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若，且對(duì)于任意，恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，求證：．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） 的單調(diào)遞增區(qū)間是，的單調(diào)遞減區(qū)間是．

（Ⅱ）實(shí)數(shù)的取值范圍是．（Ⅲ）見(jiàn)解析。

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。

（1）因?yàn)橛?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111917445278511636/SYS201211191745401601254328_DA.files/image006.png">得，所以．然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定單調(diào)性得到及結(jié)論

（2）由可知是偶函數(shù)．

于是對(duì)任意成立等價(jià)于對(duì)任意成立．然后求解導(dǎo)數(shù)，分析得到參數(shù)的范圍。

（3），

，

運(yùn)用放縮法得到結(jié)論。

解：（Ⅰ）由得，所以．

    由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，

由得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是．（6分）（3分）

    （Ⅱ）由可知是偶函數(shù)．

于是對(duì)任意成立等價(jià)于對(duì)任意成立．（8分）（5分）

由得．

①當(dāng)時(shí)，． 此時(shí)在上單調(diào)遞增．

     故，符合題意．  （10分）（7分）

②當(dāng)時(shí)，．當(dāng)變化時(shí)的變化情況如下表：

	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由此可得，在上，．

依題意，，又．（13分）（9分）

綜合①，②得，實(shí)數(shù)的取值范圍是．（14分）（10分）

（Ⅲ），

，

，

 

由此得，

故．（（14分）