Question

2．函數(shù)y=2x-3-$\sqrt{13-4x}$的值域是（-∞，$\frac{7}{2}$]．

Answer 1

分析 利用“換元法”轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域．注意換元后的參數(shù)的取值范圍．

解答 解：由題意：設t=$\sqrt{13-4x}$（t≥0），則$x=\frac{13}{4}-\frac{1}{4}{t}^{2}$．
那么y=2x-3-$\sqrt{13-4x}$轉(zhuǎn)化為：y=$2（\frac{13}{4}-\frac{1}{4}{t}^{2}）-3-t$
整理：y=$-\frac{1}{2}{t}^{2}-t+\frac{7}{2}$（t≥0），
由二次函數(shù)圖象及性質(zhì)可知：函數(shù)y=$-\frac{1}{2}{t}^{2}-t+\frac{7}{2}$圖象開口向下，有最大值；單調(diào)減區(qū)間為（-1，+∞）；
∵t≥0，
∴當t=0 時，函數(shù)y=$-\frac{1}{2}{t}^{2}-t+\frac{7}{2}$取得最大值，即${y}_{max}=\frac{7}{2}$；
所以函數(shù)y=2x-3-$\sqrt{13-4x}$的值域為（-∞，$\frac{7}{2}$]．
故答案為：（-∞，$\frac{7}{2}$]．

點評 本題考查了利用“換元法”轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域的方法．注意換元后的參數(shù)的取值范圍．屬于基礎題．