Question

14．已知a＞0，b＜0，且（4a-1）（2b+1）=-9，若（2a-b）x²-abx-6≥0總成立，則正實數(shù)x的取值范圍是[1，+∞）．

Answer 1

分析 由（4a-1）（2b+1）=-9，a＞0，b＜0，可得2a-b=-4-4ab≥2$\sqrt{2a（-b）}$，可得-ab≥2．由于（2a-b）x²-abx-6≥0總成立，可得（-ab）_min≥$\frac{6+4{x}^{2}}{4{x}^{2}+x}$，x＞0．
解出即可得出．

解答 解：∵（4a-1）（2b+1）=-9，a＞0，b＜0，
∴2a-b=-4-4ab≥2$\sqrt{2a（-b）}$，化為：$（\sqrt{2a（-b）}）^{2}$-$\sqrt{2a（-b）}$-2≥0，
解得-ab≥2，當且僅當2a=-b=2時取等號．
∴（2a-b）x²-abx-6≥0化為：（-4-4ab）x²-abx-6≥0，
化為：-ab≥$\frac{6+4{x}^{2}}{4{x}^{2}+x}$，x＞0．
由于（2a-b）x²-abx-6≥0總成立，∴（-ab）_min≥$\frac{6+4{x}^{2}}{4{x}^{2}+x}$，x＞0．
∴2≥$\frac{6+4{x}^{2}}{4{x}^{2}+x}$，x＞0．
化為：2x²+x-3≥0，
解得x≥1．
∴正實數(shù)x的取值范圍是[1，+∞）．
故答案為：[1，+∞）．

點評 本題考查了基本不等式的性質、恒成立問題的等價轉化方法、一元二次不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．