如圖，四棱錐的底面為正方形，側(cè)面底面．為等腰直角三角形，且．，分別為底邊和側(cè)棱的中點(diǎn)．

（1）求證：∥平面；
（2）求證：平面；
（3）求二面角的余弦值．

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）所以二面角的余弦值為．

解析試題分析：（1）求證：∥平面，證明線面平行，首先證明線線平行，可用三角形的中位線平行，也可用平行四邊形的對(duì)邊平行，注意到是的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，則所以是△的中位線，證得四邊形是平行四邊形，從而得∥，從而可證∥平面；（2）求證：平面，可用空間向量法，注意到平面平面，，可以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意設(shè)，則的各點(diǎn)坐標(biāo)，從而得，，，利用數(shù)量積得，，從而得證；（Ⅲ）求二面角的余弦值，由（2）建立空間直角坐標(biāo)系，可設(shè)平面的法向量為，求出一個(gè)法向量，由（2）可知平面的法向量是，利用向量的夾角公式，即可求得二面角的余弦值．
試題解析：（1）取的中點(diǎn)，連接，.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/0a/b/i60g01.png" style="vertical-align:middle;" />，分別是，的中點(diǎn)，
所以是△的中位線. 所以∥，且．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/bf/9/1dzrm4.png" style="vertical-align:middle;" />是的中點(diǎn)，且底面為正方形，
所以，且∥.所以∥，且．
所以四邊形是平行四邊形．所以∥．
又平面，平面，所以平面．                 4分

（2）證明：因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ef/4/zx0bt1.png" style="vertical-align:middle;" />平面

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在直三棱柱中，
，。M、N分別是AC和BB1的中點(diǎn)。
（1）求二面角的大小。
（2）證明：在AB上存在一個(gè)點(diǎn)Q，使得平面⊥平面，   
并求出的長度。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在正四棱錐P－ABCD中，PA＝AB＝，點(diǎn)M，N分別在線段PA和BD上，BN＝BD．
（1）若PM＝PA，求證：MN⊥AD；
（2）若二面角M－BD－A的大小為，求線段MN的長度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，三棱柱中，側(cè)棱平面，為等腰直角三角形，，且分別是的中點(diǎn).

（1）求證：平面；
（2）求銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在邊長為1的等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點(diǎn)，AD=AE，F是BC的中點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)G，將沿AF折起，得到如圖所示的三棱錐，其中.

（1） 證明://平面;
（2） 證明:平面;
（3）當(dāng)時(shí)，求三棱錐的體積

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知四棱錐的底面為直角梯形，，，底面，且，是的中點(diǎn).
⑴求證：直線平面；
⑵⑵若直線與平面所成的角為，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知空間三點(diǎn)A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)．設(shè)a＝，b＝.
(1)求a和b的夾角θ；
(2)若向量ka＋b與ka－2b互相垂直，求k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，底面是邊長為1的正方形，E、F分別是棱B1B、DA的中點(diǎn)．
(1)求二面角D1-AE-C的大小；
(2)求證：直線BF∥平面AD1E.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P­ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA＝PD＝，PA⊥PD，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O為AD中點(diǎn)．

(1)求直線PB與平面POC所成角的余弦值；
(2)求B點(diǎn)到平面PCD的距離；
(3)線段PD上是否存在一點(diǎn)Q，使得二面角Q­AC­D的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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同步練習(xí)冊(cè)答案