Question

已知函數．
（1）若函數f（x）在其定域義內為單調函數，求實數a的取值范圍；
（2）若函數f（x）的圖象在x=1處的切線的斜率為0，且．
①若a₁≥3，求證：a_n≥n+2；
②若a₁=4，試比較與的大小，并說明你的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據函數單調性與導數的關系，f（x）在其定義域內為單調函數，在（0，+∞）內f′（x）恒大于0或恒小于0，轉化為恒成立問題去解決．
（2）①根據導數的幾何意義，f'（1）=0，求出a，確定f（x），f′（x）繼而得出a_n+1的表達式，再用數學歸納法證明．
②在①的條件下，將各項適當放縮，再結合等比數列求和公式化簡不等式左邊，即可得出結論．
解答：解：（1）∵f（1）=a-b=0，∴a=b，∴，
∴f′（x）=a+-．
要使函數f（x）在定義域（0，+∞）內為單調函數，則在（0，+∞）內f′（x）恒大于0或恒小于0，
當a=0時，f′（x）=-＜0在（0，+∞）內恒成立；
當a＞0時，要使f′（x）=a（-）²+a-＞0恒成立，則a-＞0，解得a＞1，
當a＜0時，要使f′（x）=a（-）²+a-＞＜0恒成立，則a-＜0，解得a＜-1，
所以a的取值范圍為a＞1或a＜-1或a=0．
（2）①∵函數f（x）的圖象在x=1處的切線的斜率為0，
∴f′（1）=0，即a+a-2=0，解得 a=1
∴f′（x）=（-1）²，a_n+1=a_n²-na_n+1
下面用數學歸納法證明：
（Ⅰ）當n=1，a₁≥3=1+2，不等式成立；
（Ⅱ）假設當n=k時，不等式成立，即：a_k≥k+2，∴a_k-k≥2＞0，
∴a_k+1=a_k（a_k-k ）+1≥2（k+2）+1=（ k+3）+k+2＞k+3
也就是說，當n=k+1時，a_k+1≥（k+1）+2成立
根據（Ⅰ）（Ⅱ）對于所有n≥1，都有a_n≥n+2成立
②由①得a_n=a_n-1（a_n-1-2n+2）+1≥a_n-1[2（n-1）+2-2n+2]+1=2a_n-1+1，
于是a_n+1≥2（a_n-1+1）（n≥2），
所以a₂+1≥2（a₁+1），a₃+1≥2（a₂+1）…，a_n+1≥2（a_n-1+1）
累乘得：a_n+1≥2^n-1（a₁+1），則≤• （n≥2），
所以≤ （1++…+ ）= （1- ）＜．
點評：本題考查函數單調性與導數的關系，考查數學歸納法，考查等比數列求和，考查學生分析解決、轉化、放縮，計算等能力與方法．是難題．