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已知函數
(1)若函數f(x)在其定域義內為單調函數,求實數a的取值范圍;
(2)若函數f(x)的圖象在x=1處的切線的斜率為0,且
①若a1≥3,求證:an≥n+2;
②若a1=4,試比較的大小,并說明你的理由.
【答案】分析:(1)根據函數單調性與導數的關系,f(x)在其定義域內為單調函數,在(0,+∞)內f′(x)恒大于0或恒小于0,轉化為恒成立問題去解決.
(2)①根據導數的幾何意義,f'(1)=0,求出a,確定f(x),f′(x)繼而得出an+1的表達式,再用數學歸納法證明.
②在①的條件下,將各項適當放縮,再結合等比數列求和公式化簡不等式左邊,即可得出結論.
解答:解:(1)∵f(1)=a-b=0,∴a=b,∴
∴f′(x)=a+-
要使函數f(x)在定義域(0,+∞)內為單調函數,則在(0,+∞)內f′(x)恒大于0或恒小于0,
當a=0時,f′(x)=-<0在(0,+∞)內恒成立;
當a>0時,要使f′(x)=a(-2+a->0恒成立,則a->0,解得a>1,
當a<0時,要使f′(x)=a(-2+a-><0恒成立,則a-<0,解得a<-1,
所以a的取值范圍為a>1或a<-1或a=0.
(2)①∵函數f(x)的圖象在x=1處的切線的斜率為0,
∴f′(1)=0,即a+a-2=0,解得 a=1
∴f′(x)=(-1)2,an+1=an2-nan+1
下面用數學歸納法證明:
(Ⅰ)當n=1,a1≥3=1+2,不等式成立;
(Ⅱ)假設當n=k時,不等式成立,即:ak≥k+2,∴ak-k≥2>0,
∴ak+1=ak(ak-k )+1≥2(k+2)+1=( k+3)+k+2>k+3
也就是說,當n=k+1時,ak+1≥(k+1)+2成立
根據(Ⅰ)(Ⅱ)對于所有n≥1,都有an≥n+2成立
②由①得an=an-1(an-1-2n+2)+1≥an-1[2(n-1)+2-2n+2]+1=2an-1+1,
于是an+1≥2(an-1+1)(n≥2),
所以a2+1≥2(a1+1),a3+1≥2(a2+1)…,an+1≥2(an-1+1)
累乘得:an+1≥2n-1(a1+1),則 (n≥2),
所以 (1++…+ )= (1- )<
點評:本題考查函數單調性與導數的關系,考查數學歸納法,考查等比數列求和,考查學生分析解決、轉化、放縮,計算等能力與方法.是難題.
練習冊系列答案
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1的最;

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-3

0

6

1

1

 

 

 

 

 

A.            B.           C.    D.

 

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已知函數,

(1)當時,求函數上的值域,并判斷函數上是否為有界函數,請說明理由;

(2)若函數上是以3為上界函數值,求實數的取值范圍;

(3)若,求函數上的上界T的取值范圍。

 

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已知函數,

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(2)若函數上是以3為上界函數值,求實數的取值范圍;

(3)若,求函數上的上界T的取值范圍。

 

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)已知函數                                       ,(>0),若函

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