如圖,已知正三棱柱ABC―A1B1C1的各棱長都為a,P為A1B上的點。
(1)試確定的值,使得PC⊥AB;
(2)若,求二面角P―AB―C的大�。�
(3)在(2)條件下,求C1到平面PAC的距離。
解法一:(1)當(dāng)時,PC⊥AB
取AB的中點D′,連結(jié)CD′、PD′
∵△ABC為正三角形, ∴CD′⊥AB。
當(dāng)P為A1B的中點時,PD′//A1A, ∵A1A⊥底面ABC, ∴PD′⊥底面ABC,
∴PC⊥AB
(2)當(dāng)
時,過P作PD⊥AB于D,
如圖所示,則PD⊥底在ABC
過D作DE⊥AC于E,連結(jié)PE,則PE⊥AC
∴∠DEP為二面角P―AC―B的平面角。
又∵PD//A1A, ∴, ∴
∴
又∵
∴ ∴∠PED=60°
即二面角P―AC―B的大小為60°
(3)設(shè)C1到面PAC的距離為d,則
∵PD//A1A ∴PD//平面A1C ∴DE即為P點到平面A1C的距離。
又PE=
∴
∴
解得
即C1到平面PAC的距離為
解法二:以A為原點,AB為x軸,過A點與AB垂直的直線為y軸,AA1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)―xyz,如圖所示,則B(a,0,0),A1(0,0,a),C,
設(shè)
(1)由
即, ∴P為A1B的中點。
即 時,PC⊥AB。
(2)當(dāng)
即
設(shè)平面PAC的一個法向量n=
則
即
取
又平面ABC的一個法向量為n0=(0,0,1)
∴
∴二面角P―AC―B的大小為180°-120°=60°
(3)設(shè)C1到平面PAC的距離為d,
則
即C1到平面PAC的距離為
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A1P |
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