設(shè)函數(shù)f(x)=x-aex,a∈R.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若?x∈R,f(x)≤0成立,求a的取值范圍.
分析:(Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=x-aex,對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若對(duì)?x∈R,f(x)≤0成立,只要f(x)的最大值小于等于0即可,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問題,從而求解;
解答:解:(Ⅰ)f'(x)=1-aex.                            …(1分)
當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)>0,f(x)在R上是增函數(shù).         …(3分)
當(dāng)a>0時(shí),令f′(x)=0,得x=-lna.                …(4分)
若x<-lna則f′(x)>0,從而f(x)在區(qū)間(-∞,-lna)上是增函數(shù);
若x>-lna則f′(x)<0,從而f(x)在區(qū)間(-lna,+∞)上是減函數(shù).
綜上可知:當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上是增函數(shù);
當(dāng)a>0時(shí),f(x)在區(qū)間(-∞,-lna)上是增函數(shù),在區(qū)間(-lna,+∞)上是減函數(shù).
…(9分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知:當(dāng)a≤0時(shí),f(x)≤0不恒成立.
又因?yàn)楫?dāng)a>0時(shí),f(x)在區(qū)間(-∞,-lna)上是增函數(shù),在區(qū)間(-lna,+∞)上是減函數(shù),所以f(x)在點(diǎn)x=-lna處取最大值,
且f(-lna)=-lna-ae-lna=-lna-1.    …(11分)
令-lna-1≤0,得a≥
1
e

故f(x)≤0對(duì)x∈R恒成立時(shí),a的取值范圍是[
1
e
,+∞)
.…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系,即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減,此題是一道中檔題;
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
,求a的值;
(2)關(guān)于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個(gè),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)對(duì)于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實(shí)數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設(shè)a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)锳,若存在非零實(shí)數(shù)t,使得對(duì)于任意x∈C(C⊆A),有x+t∈A,且f(x+t)≤f(x),則稱f(x)為C上的t低調(diào)函數(shù).如果定義域?yàn)閇0,+∞)的函數(shù)f(x)=-|x-m2|+m2,且 f(x)為[0,+∞)上的10低調(diào)函數(shù),那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是(  )
A、[-5,5]
B、[-
5
,
5
]
C、[-
10
10
]
D、[-
5
2
5
2
]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(x+2)=f(x)恒成立;當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x3-4x+3.有下列命題:
f(-
3
4
) <f(
15
2
)

②當(dāng)x∈[-1,0]時(shí)f(x)=x3+4x+3;
③f(x)(x≥0)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)由小到大構(gòu)成一個(gè)無窮等差數(shù)列;
④關(guān)于x的方程f(x)=|x|在x∈[-3,4]上有7個(gè)不同的根.
其中真命題的個(gè)數(shù)為( �。�

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:徐州模擬 題型:解答題

設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
,求a的值;
(2)關(guān)于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個(gè),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)對(duì)于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實(shí)數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設(shè)a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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