Question

14．已知函數f（x）=（x²-3）e^x，則關于x的方程f²（x）-mf（x）-$\frac{12}{{e}^{2}}$=0的實根個數可能是（　　）

• A． 3
• B． 1
• C． 3或5
• D． 1或3或5

Answer 1

分析 求得f（x）的導數，單調區(qū)間和極值，作出f（x）的圖象，令t=f（x），則t²-mt-$\frac{12}{{e}^{2}}$=0，由判別式和韋達定理可得方程有一正一負根，結合圖象可得原方程實根的個數．

解答 解：函數f（x）=（x²-3）e^x的導數為f′（x）=（x+3）（x-1）e^x，
當x＞1或x＜-3時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當-3＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有f（x）在x=1處取得極小值-2e；在x=-3處取得極大值6e^-3，
作出f（x）的圖象，如右圖．
關于x的方程f²（x）-mf（x）-$\frac{12}{{e}^{2}}$=0，
由判別式為m²+$\frac{48}{{e}^{2}}$＞0，方程有兩個不等實根，
令t=f（x），則t²-mt-$\frac{12}{{e}^{2}}$=0，t₁t₂=-$\frac{12}{{e}^{2}}$＜0，
則原方程有一正一負實根．
當t＞6e^-3，y=t和y=f（x）有一個交點，
當0＜t＜6e^-3，y=t和y=f（x）有三個交點，
當-2e＜t＜0時，y=t和y=f（x）有兩個交點，
當t＜-2e時，y=t和y=f（x）沒有交點，
則x的方程f²（x）-mf（x）-$\frac{12}{{e}^{2}}$=0的實根個數可能是1或3或5．
故選：D．

點評 本題考查方程的根的個數的判斷，考查函數方程的轉化思想，注意運用二次方程的判別式和韋達定理，考查數形結合的思想方法，屬于中檔題．