Question

9．某多面體的三視圖如圖所示，則該多面體外接球的體積為$\frac{{41\sqrt{41}}}{48}π$．

Answer 1

分析 根據(jù)三視圖得出空間幾何體是鑲嵌在正方體中的四棱錐O-ABCD，正方體的棱長(zhǎng)為2，A，D為棱的中點(diǎn)，利用球的幾何性質(zhì)求解即可．

解答 解：根據(jù)三視圖得出：該幾何體是鑲嵌在正方體中的四棱錐O-ABCD，正方體的棱長(zhǎng)為2，A，D為棱的中點(diǎn)．
根據(jù)幾何體可以判斷：球心應(yīng)該在過(guò)A，D的平行于底面的中截面上，
設(shè)球心到截面BCO的距離為x，則到AD的距離為：2-x，
∴R²=x²+（$\sqrt{2}$）²，R²=1²+（2-x）²，
解得出：x=$\frac{3}{4}$，R=$\frac{\sqrt{41}}{4}$，
該多面體外接球的體積為：$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{{41\sqrt{41}}}{48}π$，
故答案為$\frac{{41\sqrt{41}}}{48}π$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了空間幾何體的性質(zhì)，學(xué)生的空間思維能力，構(gòu)造思想，關(guān)鍵是鑲嵌在常見(jiàn)的幾何體中解決．