Question

已知函數f（x）=x³-6x²+9x-2給出以下命題
（1）若直線y=a與y=f（x）的圖象有三個不同交點，則實數的取值范圍是（-2，2）
（2）若函數y=f（x）+3bx不存在單調遞減區(qū)間，則實數b的取值范圍是（1，+∞）
（3）過點M（0，2）且與y=f（x）相切的直線有三條
（4）方程f（x）=

2

2-x

的所有根的和為16．
其中真命題的序號是

 

（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：求出函數的導數，求出單調區(qū)間和極值，作出f（x）的圖象，由圖象觀察可得a的取值范圍，即可判斷（1）；
求出導數，令導數小于等于0，不等式無解，可得b的范圍，即可判斷（2）；
設出切點，求出切線方程，解方程求得切點的橫坐標，即可判斷（3）；
作出雙曲線y=

2

2-x

的圖象，可得圖象關于（2，0）對稱，再由圖象觀察它們共有4個交點，可得橫坐標之和為8，即可判斷（4）．

解答： 解：函數f（x）=x³-6x²+9x-2的導數為
f′（x）=3x²-12x+9，
f′（x）＞0解得x＞3或x＜1，f（x）遞增；
f′（x）＜0可得1＜x＜3，f（x）遞減．
即f（1）取得極大值2，f（3）取得極小值-2，
作出f（x）的圖象，如右．
對于（1），作出直線y=a，由圖象可得當-2＜a＜2時，
則直線與f（x）的圖象有3個交點，則（1）正確；
對于（2），若函數y=f（x）+3bx不存在單調遞減區(qū)間，則y′=3x²-12x+9+3b≤0不成立，
即有3（x-2）²≤-3b+3無解，則有3-3b＜0，解得b＞1，則（2）正確；
對于（3），設過點M（0，2）且與y=f（x）相切的切點為（m，n），則切線斜率為3m²-12m+9，
切線方程為y-n=（3m²-12m+9）（x-m），代入（0，2），可得n=3m³-12m²+9m+2，又n=m³-6m²+9m-2，
則有m³-3m²+2=0，即（m-1）（m²-2m-2）=0，解得m=1或1±

3

，則切線共有3條，則（3）正確；
對于（4），作出雙曲線y=

2

2-x

的圖象，可得圖象關于（2，0）對稱，由圖象可得y=f（x）的圖象與雙曲線
交于4個點，它們關于（2，0）對稱，則它們的橫坐標和為4+4=8，則（4）錯誤．
故答案為：（1）（2）（3）．

點評：本題考查三次函數的圖象的運用，考查函數的導數的運用：求切線方程和單調區(qū)間以及極值，考查函數的對稱性以及運用，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．