Question

2．已知x＞0，y＞0，若-1≤lg$\frac{x}{y}$≤2，1≤lg（xy）≤4，則lg$\frac{{x}^{2}}{y}$的取值范圍是（　　）

• A． [-1，5]
• B． [-1，4]
• C． （2，6）
• D． （0，5）

Answer 1

分析 由1≤lg（xy）≤4，-1≤lg$\frac{x}{y}$≤2，可得：1≤lgx+lgy≤4，-1≤lgx-lgy≤2，而lg$\frac{{x}^{2}}{y}$=2lgx-lgy，設(shè)2lgx-lgy=m（lgx+lgy）+n（lgx-lgy），利用“待定系數(shù)法”即可得出．

解答 解：由1≤lg（xy）≤4，-1≤lg$\frac{x}{y}$≤2，可得：1≤lgx+lgy≤4，-1≤lgx-lgy≤2，
而lg$\frac{{x}^{2}}{y}$=2lgx-lgy
設(shè)2lgx-lgy=m（lgx+lgy）+n（lgx-lgy），
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n=2}\\{m-n=-1}\end{array}\right.$，
解得m=$\frac{1}{2}$，n=$\frac{3}{2}$．
∴l(xiāng)g$\frac{{x}^{2}}{y}$=2lgx-lgy=$\frac{1}{2}$（lgx+lgy）+$\frac{3}{2}$（lgx-lgy），
∴-1≤lg $\frac{{x}^{2}}{y}$≤5，
故選：A．

點評 本題考查了不等式的性質(zhì)、對數(shù)的運算法則，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．