Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=

n2+3n

2

．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)b_n=a_n•2ⁿ，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

可求得a_n，只證a_n-a_n-1為常數(shù)即可；
（Ⅱ）利用錯位相減法可求得前n項(xiàng)和；

解答：（Ⅰ）（1）當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2，
（2）當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

n2+3n

2

-

(n-1)2+3(n-1)

2

=n+1，
又當(dāng)n=1時滿足上式，
∴a_n=n+1，
∵a_n-a_n-1=1，
數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．                     
（Ⅱ）b_n=a_n•2ⁿ=（n+1）•2ⁿ，
令Tn=2•2+3•22+4•23+…+（n+1）•2ⁿ，①
2Tn=2•22+3•23+4•24+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹，②
①-②得：-Tn=2•2+22+23+…+2n-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=2+

2(1-2n)

1-2

-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=-n•2ⁿ⁺¹，
∴Tn=n•2n+1．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和、錯位相減法對數(shù)列求和，考查a_n與S_n的關(guān)系，屬中檔題．