Question

（2013•鎮(zhèn)江一模）已知函數(shù)f(x)=

x2

x2-x+1

，對一切正整數(shù)n，數(shù)列{a_n}定義如下：a₁=

1

2

，且a_n+1=f（a_n），前n項和為S_n．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并求值域；
（2）證明{x|f（x）=x}={x|f（f（x））=x}；
（3）對一切正整數(shù)n，證明：①a_n+1＜a_n；②S_n＜1．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)定義域，令導(dǎo)數(shù)大于或小于0，解出即可得到單調(diào)區(qū)間，分x=0，x≠0兩種情況討論：當x=0時易求f（0），當x≠0時，f（x）=

1

1- 1 x +( 1 x )2

，借助二次函數(shù)及反比例函數(shù)可求得f（x）值域；
（2）把兩集合分別求出來作比較即可，①對f（x）=x，知考慮x≥0情形，由（x-1）²≥0可推得f（x）≤x，易知當且僅當x=0，1時取等號從而可得相應(yīng)集合；②對f（f（x））=x，令t=f（x），結(jié)合（1）及①結(jié)論可判斷當x＜0及0＜x≠1時f（f（x））=x無解，只有x=0，1成立，從而可得結(jié)論；
（3）由a_n+1=f（a_n）得到遞推式，通過作商與1比較即可得到結(jié)論①；對an=

a   2 n-1

a 2 n-1 -an-1+1

兩邊取倒數(shù)，通過變形可得an-1=

1

1 an-1 -1

-

1

1 an -1

(n≥2)，利用裂項相消法可求得S，再由0＜an+1＜an＜

1

2

，可得結(jié)論②．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為R，f′(x)=

2x(x2-x+1)-x2(2x-1)

(x2-x+1)2

=

-x2+2x

(x2-x+1)2

，
由f'（x）＞0，得0＜x＜2，由f'（x）＜0，得x＜0或x＞2．
函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，2），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0）和（2，+∞）．
當x=0時，f（0）=0；
當x≠0時，f(x)=

1

1- 1 x +( 1 x )2

=

1

( 1 x - 1 2 )2+ 3 4

≤

4

3

，且f（x）＞0，當x=2時取得等號，
∴函數(shù)f（x）的值域為[0，

4

3

]．
（2）設(shè)A={x|f（x）=x}，B={x|f（f（x））=x}，
①當x≥0時，∵(x-1)2≥0?

x

x2-x+1

≤1?

x2

x2-x+1

≤x?f(x)≤x恒成立．
當且僅當x=0，1時，f（x）=x．
∴A={0，1}；
②令t=f（x），當且僅當x=1時，t=f（x）=1．
當x＜0時，由（1）f（f（x））=f（t）＞0，
∴當x＜0時，f（f（x））=x無解；
當0＜x≠1時，由①知f（f（x））=f（t）＜t=f（x）＜x，
∴當0＜x≠1時，f（f（x））=x無解．
綜上，除x=0，1外，方程f（f（x））=x無解，
∴B={0，1}，
∴A=B．
∴{x|f（x）=x}={x|f（f（x））=x}．
（3）顯然an+1=

an2

a   2 n -an+1

=

an2

(an- 1 2 )2+ 3 4

，
又a1=

1

2

，∴a_n＞0，∴

an+1

an

=

an

a   2 n -an+1

=

1

an+ 1 an -1

≤

1

2-1

=1，
∴a_n+1≤a_n．
若a_n+1=a_n，則a_n=1矛盾．
∴a_n+1＜a_n．
∵an=

a   2 n-1

a 2 n-1 -an-1+1

，∴

1

an

=1-

1

an-1

+

1

an-12

，∴

1

an

-1=-

1

an-1

+

1

an-12

，
∴

1

1 an -1

=

1

- 1 an-1 + 1 an-12

=

1

( 1 an-1 -1) 1 an-1

=

1

1 an-1 -1

-

1

1 an-1

，
∴an-1=

1

1 an-1 -1

-

1

1 an -1

(n≥2)，
∴S=

n+1

i=2

ai-1=

n+1

i=2

(

1

1 ai-1 -1

-

1

1 ai -1

)=

1

1 a1 -1

-

1

1 an+1 -1

=1-

an+1

1-an+1

，
∵0＜an+1＜an＜

1

2

，
∴S=1-

an+1

1-an+1

＜1．

點評：本題以高等數(shù)學中的函數(shù)不動點、函數(shù)迭代問題為背景，考查導(dǎo)數(shù)的運算與應(yīng)用；考查函數(shù)思想；考查推理論證能力、運算能力．屬于較難的題目．