Question

12．已知邊長為2的正方形ABCD的四個頂點在球O的球面上，球O的表面積為80π，則OA與平面ABCD所成的角的余弦值為（　　）

• A． $\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
• C． $\frac{{\sqrt{19}}}{19}$
• D． $\frac{{\sqrt{30}}}{30}$

Answer 1

分析 作平面ABCD的垂線OM，則M為正方形中心，∠OAM為OA與平面ABCD所成的角，求出球的半徑OA，AM，即可得出所求角的余弦值．

解答 解：過O作OM⊥平面ABCD，垂足我M，則M為正方形ABCD的中心．
∵正方形ABCD的邊長為2，∴AC=2$\sqrt{2}$，AM=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{2}$，
∵S_球O=4πr²=80π，∴球O的半徑OA=r=2$\sqrt{5}$．
∴OA與平面ABCD所成的角的余弦值為cos∠OAM=$\frac{AM}{OA}$=$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故選：B．

點評 本題考查了線面角的計算，球的結構特征，屬于基礎題．