Question

已知函數(shù)f（x）=

x+b

1+x2

為奇函數(shù)．
（1）求b的值；
（2）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)；
（3）解關(guān)于x的不等式f（1+2x²）+f（-x²+2x-4）＞0．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)f（0）=0，求得b的值．
（2）由（1）可得f（x）=

x

1+x2

，再利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)．
（3）由題意可得f（1+2x²）＞f（x² -2x+4），再根據(jù)函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)，可得1+2x² ＜x² -2x+4，且x＞1，由此求得x的范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

x+b

1+x2

為定義在R上的奇函數(shù)，∴f（0）=b=0．
（2）由（1）可得f（x）=

x

1+x2

，下面證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)．
證明：設(shè)x₂＞x₁＞0，則有f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

x1+x1•x22-x2-x2•x12

(1+x12)(1+x22)

=

(x1-x2)(1-x1•x2)

(1+x12)(1+x22)

．
再根據(jù)x₂＞x₁＞0，可得1+x12＞0，1+x22＞0，x₁-x₂＜0，1-x₁•x₂＜0，∴

(x1-x2)(1-x1•x2)

(1+x12)(1+x22)

＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)．
（3）由不等式f（1+2x²）+f（-x²+2x-4）＞0，可得f（1+2x²）＞-f（-x²+2x-4）=f（x² -2x+4），
再根據(jù)函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)，可得1+2x² ＜x² -2x+4，且x＞1求得1＜x＜3，
故不等式的解集為（1，3）．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于基礎(chǔ)題．