Question

【題目】如圖，已知三棱臺(tái)中，，M是的中點(diǎn)，N在線段上，且，過(guò)點(diǎn)的平面把這個(gè)棱臺(tái)分為兩部分，求體積較小部分與體積較大部分的體積比值.

Answer 1

【答案】

【解析】

不妨設(shè)平面⊥平面，設(shè)是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，設(shè)棱臺(tái)的高為，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，先求出三棱臺(tái)的體積，過(guò)點(diǎn)，，的平面把這個(gè)棱臺(tái)分為兩部分，體積較小部分的體積為：，體積較大部分的體積為：，由此能求出體積較小部分與體積較大部分的體積比值.

三棱臺(tái)，，是的中點(diǎn)，在線段上，且不妨設(shè)平面⊥平面，

設(shè)是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，

設(shè)棱臺(tái)的高為，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，

以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

，，

三棱臺(tái)的體積，

，

所以，

，，，，

，，，

設(shè)平面的法向量，

所以，即，

取，得，

所以點(diǎn)到平面的距離，

，

所以，

所以

所以，

設(shè)平面與交于點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)到直線距離的，

所以，

所以，

所以過(guò)點(diǎn)的平面把這個(gè)棱臺(tái)分為兩部分，

體積較小部分的體積為：

，

體積較大部分的體積為：

，

所以體積較小部分與體積較大部分的體積比值為.