Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]．
（1）當a=-1時，求f（x）的最大值與最小值；
（2）求實數(shù)a的取值范圍，使y=f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)函數(shù)．
（3）求函數(shù)在區(qū)間[-5，5]上的最小值g（a）．

Answer 1

分析：（1）當a=-1時，根據(jù)函數(shù)f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，x∈[-5，5]，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)f（x）取得最值．
（2）由于函數(shù)f（x）對稱軸為 x=-a，要使y=f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)函數(shù)，應有-a≤-5，或-a≥5，由此求得a的范圍．
（3）分當-a≤-5、當-5≤-a≤5時、當-a≥5時三種情況，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得g（a）．

解答：解：（1）當a=-1時，∵函數(shù)f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，x∈[-5，5]，
故當x=1時，函數(shù)f（x）取得最小值為1，當x=-5時，函數(shù)f（x）取得最大值為 37．
（2）由于函數(shù)f（x）=x²+2ax+2的對稱軸為 x=-a，要使y=f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)函數(shù)，
應有-a≤-5，或-a≥5，解得a≥5，或a≤-5，即a的范圍為（-∞，-5]∪[5，+∞）．
（3）由于函數(shù)在區(qū)間[-5，5]上的最小值為g（a），
故當-a≤-5，即a≥5時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)增函數(shù)，故最小值g（a）=f（-5）=27-10a．
故當-5≤-a≤5，即5≥a≥-5時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-5，5]上的最小值g（a）=f（-a）=2-a²．
故當-a≥5，即a≤-5時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)減函數(shù)，故最小值g（a）=f（5）=27+10a．
綜上可得，當a≥5時，g（a）=f（-5）=27-10a；當 5≥a≥-5時，g（a）=f（-a）=2-a²； 當a≤-5時，g（a）=f（5）=27+10a．

點評：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．