Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M、N分別為A₁B和B₁C₁的中點(diǎn)，

（1）求證：直線MN∥平面AA₁C₁C；
（2）若A₁B⊥B₁C，A₁N⊥B₁C₁，求證：B₁C⊥AC₁．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì),直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）要證明直線MN∥平面AA₁C₁C，可用直線和平面平行的判定定理，結(jié)合已知M、N分別為A₁B和B₁C₁的中點(diǎn)，想到連接AB₁，由三角形的中位線的性質(zhì)得結(jié)論；
（2）要證B₁C⊥AC₁，由于MN∥AC₁，可證B₁C⊥MN，結(jié)合已知條件證明B₁C⊥平面A₁BN，則結(jié)論得證．

解答： 證明：（1）如圖，

連接AB₁，則M為AB₁中點(diǎn)，
又N為B₁C₁中點(diǎn)，MN∥AC₁，AC₁?平面AA₁C₁C，MN?平面AA₁C₁C，
∴直線MN∥平面AA₁C₁C；
（2）∵BB₁⊥平面A₁B₁C₁，∴B₁B⊥A₁N，
∵A₁N⊥B₁C₁，B₁B∩B₁C₁=B₁，
∴A₁N⊥平面B₁BCC₁，
∴A₁N⊥B₁C，
∵A₁B⊥B₁C，A₁N∩A₁B=A₁，
∴B₁C⊥平面A₁BN，
又MN?平面A₁BN，
∴B₁C⊥MN，
∴B₁C⊥AC₁

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與平面垂直的判斷與性質(zhì)，考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．