已知G點(diǎn)是△ABC的重心，過G點(diǎn)作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點(diǎn)，設(shè)
AM
=x
AB
，
AN
=y
AC
，則
1
x
+
1
y
=
3
3
．
分析：由G為三角形的重心，可得
AG
=
1
3
（
AB
+
AC
），結(jié)合
AM
=x
AB
，
AN
=y
AC
，根據(jù)M，G，N三點(diǎn)共線，易得到x，y的關(guān)系式，整理后即可得到答案．
解答：解：∵G為三角形的重心，
∴
AG
=
1
3
（
AB
+
AC
），
∴
MG
=
AG
-
AM
=
1
3
（
AB
+
AC
）-x
AB
=（
1
3
-x）
AB
+
1
3
AC
，
GN
=
AN
-
AG
=y
AC
-
1
3
（
AB
+
AC
）=-
1
3
AB
+（y-
1
3
）
AC
，
∵
MG
與
GN
共線，
∴存在實(shí)數(shù)λ，使得
MG
=λ
GN
，
即（
1
3
-x）
AB
+
1
3
AC
=λ[-
1
3
AB
+（y-
1
3
）
AC
]，
由向量相等的定義可得
1
3
-x=-
1
3
λ
1
3
=λ(y-
1
3
)
，
消去λ可得x+y-3xy=0，
兩邊同除以xy整理得
1
x
+
1
y
=3
故答案為：3
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及幾何意義，向量的共線定理，及三角形的重心，屬中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)G是△ABC的重心，A（0，-1），B（0，1）．在x軸上有一點(diǎn)M，滿足|
MA
|=|
MC
|，
GM
=λ
AB
(λ∈R)（若△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），則該三角形的重心坐標(biāo)為G(
x1+x2+x3
3
，
y1+y2+y3
3
)）．
（1）求點(diǎn)C的軌跡E的方程．
（2）設(shè)（1）中曲線E的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過點(diǎn)F2的直線l交曲線E于P、Q兩點(diǎn)，求△F1PQ面積的最大值，并求出取最大值時(shí)直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，正△ABC的中線AF與中位線DE相交于點(diǎn)G，已知△A′DE是△AED繞邊DE旋轉(zhuǎn)過程中的一個(gè)圖形．
（I）求證點(diǎn)A′在平面ABC上的射影在線段AF上；
（II）求當(dāng)A′E⊥BD時(shí)△A′DE所轉(zhuǎn)過的角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，正△ABC的中線AF與中位線DE相交于G，已知△A'ED是△AED繞DE旋轉(zhuǎn)過程中的一個(gè)圖形，現(xiàn)給出下列四個(gè)命題：
①動(dòng)點(diǎn)A'在平面ABC上的射影在線段AF上；
②恒有平面A'GF⊥平面BCED；
③三棱錐A'-FED的體積有最大值；
④面直線A'E與BD不可能垂直．
其中正確的命題的序號是
①②③
①②③
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過G作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點(diǎn)，且
AM
=x
AB
，
AN
=y
AC
，則
xy
x+y
的值為
 
．

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