Question

設橢圓方程為，過點M(0，1)的直線交橢圓于A、B兩點，O為坐標原點，點P滿足，點N坐標為(，)．

(1)當直線繞點M旋轉(zhuǎn)時，求動點P的軌跡方程；

(2)當直線繞點M旋轉(zhuǎn)時，求的最大值與最小值．

Answer 1

解：(1)直線過定點M(0，1)，設其斜率為(當斜率存在時)，則直線的方程為y=+1．

    記A(，)、B(，)，由題意知，A、B坐標滿，

消去，得(4+)+2一3=0，

    △=4k²+12(4+k²)>0，

    所以+=－，=

    設P(，y)，則由得

    (，y)=(₁+₂，y₁+y₂)

          = (一，，)

          =()．

     消去k得4²+y²一y=0：

     當斜率不存在時，AB的中點是坐標原點，也滿足這個方程，

故動點P的軌跡方程為4²+y²一y=0．

     (2)將P點軌跡方程配方得

     (4)²+[2(y－)]²=1，

     ∴一≤≤．

而||²=(一)²+(y一)² 

=(一)²+

于是，當=一時，取得最大值=．

當=時，取得最小值=．