Question

在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，滿足a²+c²-b²=ac．
（1）求角B的大小；
（2）設(shè)

m

=(sinA，cos2A)，

n

=(-6，-1)，求

m

•

n

的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理表示出cosB，把已知的等式代入得出cosB的值，由B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（2）由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則表示出

m

•

n

，并利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，配方后得到關(guān)于sinA的二次函數(shù)，由A的范圍，得到sinA的范圍，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出此時二次函數(shù)的最小值，即為

m

•

n

的最小值．

解答：解：（1）在△ABC中，a²+c²-b²=ac，
∴由余弦定理得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，…（3分）
又B∈（0，π），
∴B=

π

3

；…（6分）
（2）∵

m

=(sinA，cos2A)，

n

=(-6，-1)，
∴

m

•

n

=-6sinA-cos2A=2sin2A-6sinA-1=2(sinA-

3

2

)2-

11

2

，…（8分）
又∵0＜A＜

2π

3

，∴0＜sinA≤1，…（10分）
當(dāng)sinA=1時，

m

•

n

取最小值-5．…（12分）

點(diǎn)評：此題考查了余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，二倍角的余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練定理及公式是解本題的關(guān)鍵．