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設函數f（x）=
1
3
x3-
1
2
x2+2x，g（x）=
1
2
ax2-（a-2）x，
（I）對于任意實數x∈[-1，2]，f′（x）≤m恒成立，求m的最小值；
（II）若方程f（x）=g（x）在區(qū)間（-1，+∞）有三個不同的實根，求a的取值范圍．
分析：（I）先求導函數，再求導函數的最大值，從而求出m的最小值；
（II）先令令h（x）=f（x）-g（x）=
1
6
x[2x2-3(a+1)x+6a]，從而等價于2x2-3（a+1）x+6a=0有兩個大于-1且不等于0的根，進而可以解決．
解答：解：（I）f′（x）=x2-x+2≤m，對稱軸x=
1
2
∈[-1，2]，f′（x）max=f′（-1）=4≤m，即m的最小值為4
（II）令h（x）=f（x）-g（x）=
1
6
x[2x2-3(a+1)x+6a]
依題意得2x2-3（a+1）x+6a=0有兩個大于-1且不等于0的根，
∴
△=9(a+1)2-48a＞0
x=
3(a+1)
4
＞-1
2+3(a+1)+6a=9a+5＞0
a≠0
，從而解得-
5
9
＜a＜
1
3
(a≠0)或a＞3．
點評：本題研究恒成立問題，只需要轉化為求函數的最大值即可，（II）中等價化簡是簡化解題的關鍵
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•江西模擬）設函數f（x）=
(
1
3
)x-8(x＜0)
x2+x-1(x≥0)
，若f（a）＞1，則實數a的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）定義在實數集上，它的圖象關于直線x=1對稱，且當x≥1時，f（x）=3x-1，則（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）的定義域為D，若對任意x1，x2∈D，當x1＜x2時，都有f（x1）≤f（x2），則稱函數f（x）在D上為非減函數．設函數f（x）在[0，1]上為非減函數，且滿足以下三個條件：①f（0）=0；②f(
x
3
)=
1
2
f(x)；③f（1-x）=2-f（x）．則f(
1
3
)+f(
1
8
)=（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•成都一模）設函數f（x）=ax3+bx2+cx，記f（x）的導函數是f′（x）．
（I）當a=-1，b=c=-1時，求函數f（x）的單調區(qū)間；
（II）當c=-a2（a＞0）時，若函數f（x）的兩個極值點x1、x2滿足|x1-x2|=2，求b的取值范圍；
（III）若a=-
1
3
令h（x）=|f′（x）|，記h（x）在[-1，1]上的最大值為H，當b≥0，c∈R時，證明：H≥
1
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=
1
3
 x3+bx2+cx（c＜b＜1）在x=1處取到一個極小值，且存在實數m，使f′（m）=-1，
①證明：-3＜c≤-1；
②判斷f′（m-4）的正負并加以證明；
③若f（x）在x∈[m-4，1]上的最大值等于
-2c
3
，求f（x）在x∈[m-4，1]上的最小值．

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